{"id":3878,"date":"2024-04-17T20:19:41","date_gmt":"2024-04-17T18:19:41","guid":{"rendered":"https:\/\/www.audioterapia.net\/sublimen\/?page_id=3878"},"modified":"2025-07-29T10:14:32","modified_gmt":"2025-07-29T08:14:32","slug":"matematica-frattale","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.audioterapia.net\/sublimen\/dossier\/matematica-frattale\/","title":{"rendered":"Matematica frattale"},"content":{"rendered":"
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Matematica dei frattali<\/h2>\n<\/div>\n

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Frattali index<\/a>\u00a0–\u00a0Matematica<\/a>\u00a0–\u00a0Natura<\/a>\u00a0–\u00a0Arte<\/a>\u00a0–\u00a0Musica<\/a><\/strong><\/div>\n<\/div>\n
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I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all\u2019infinito di uno stesso motivo su scala sempre pi\u00f9 ridotta. Questa \u00e8 la \u201cdefinizione\u201d pi\u00f9 intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante, ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa: l’atteggiamento corrente \u00e8 quello di considerare frattale un insieme F che abbia propriet\u00e0 simili alle quattro elencate qui di seguito:<\/div>\n

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1)\u00a0Autosimilarit\u00e0<\/b>: F \u00e8 unione di un numero di parti che , ingrandite di un certo fattore, riproducono tutto F; in altri termini F \u00e8 unione di copie di se stesso a scale differenti.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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2)\u00a0Struttura fine<\/b>: F rivela dettagli ad ogni ingrandimento.<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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\"\"\u00a0\u00a0\u00a0\"\"<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
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3)\u00a0Irregolarit\u00e0<\/b>: F non si pu\u00f2 descrivere come luogo di punti che soddisfano semplici condizioni geometriche o analitiche. (la funzione e ricorsiva: F={Z | Z = f(f(f(…)))}<\/div>\n
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4)\u00a0Dimensioni di autosimilarit\u00e0<\/b>\u00a0> della dimensione topologica<\/div>\n
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La caratteristica di queste figure, caratteristica dalla quale deriva il loro nome, \u00e8 che, sebbene esse possano essere rappresentate (se non si pretende di rappresentare infinite iterazioni, cio\u00e8 trasformazioni per le quali si conserva il particolare motivo geometrico) in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la loro dimensione non \u00e8 intera. In effetti la lunghezza di un frattale \u201cpiano\u201d non pu\u00f2 essere misurata definitamente, ma dipende strettamente dal numero di iterazioni al quale si sottopone la figura iniziale.<\/div>\n

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Fino agli inizi di questo secolo la geometria ha considerato oggetti per la cui trattazione \u00e8 sufficiente la definizione classica e intuitiva di dimensione (Dt=dimensione topologica), gi\u00e0 presente almeno implicitamente in Euclide. In questa definizione, data compiutamente da Poincar\u00e9, si assegna ad un punto o a un insieme totalmente sconnesso di punti Dt=0; per le rette, induttivamente, la Dt=1 in quanto possono essere divise da elementi di Dt=0 (o meglio, un insieme F ha dimensione 1 se ogni punto ha un intorno in F arbitrariamente piccolo con frontiera di dimensione zero); e in generale un oggetto si dice di dimensione Dt=Dt’ quando ogni punto dell’insieme ha un intorno in F con frontiera di dimensione Dt=(Dt’-1). La dimensione topologica \u00e8 un numero intero.<\/div>\n
Il concetto di dimensione ha per\u00f2 diverse connotazioni matematiche, in accordo con le seguenti propriet\u00e0:<\/div>\n

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Siano A e B insiemi di punti:<\/div>\n
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A pu\u00f2 essere diviso da una sottoclasse di punti Dt=(Dt’-1).<\/div>\n
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Per l’insieme di Cantor, si ha Dt(C)=0. Tale definizione non distingue tra C e l’insieme dei razionali nell’intervallo [0,1]. Per questo B. B.\u00a0Mandelbrot<\/b>, autorevole matematico che ha dato l\u2019impulso allo studio dei frattali, evidenzi\u00f2 come la dimensione topologica non sia opportuna per le figure frattali, e per questo nello studiare queste figure si fa riferimento alla definizione di dimensione data da\u00a0Kolmogorov-Hausdorff<\/b>.<\/div>\n
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Si misuri un insieme di punti A con un\u2019unit\u00e0 di misura\u00a0h<\/i>\u00a0ogni volta pi\u00f9 piccola e si chiami\u00a0N(h)<\/i>\u00a0il minimo numero di segmenti (se il frattale \u00e8 costituito da punti appartenenti ad una stessa retta) – o in generale di figure a\u00a0k<\/i>\u00a0dimensioni se il frattale \u00e8 costituito da punti tutti appartenenti ad uno spazio \u00c2k<\/sup>\u00a0– necessari per coprire per intero la figura, si definisce capacit\u00e0 di A:<\/div>\n
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Analizziamo ora la dimensione del frattale pi\u00f9 classico e studiato: l\u2019insieme\u00a0C<\/i>\u00a0di\u00a0Cantor<\/b>.<\/div>\n
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Questo insieme \u00e8 costituito dai punti che \u201crimangono\u201d sul segmento [0;1] dopo che da questa \u00e8 stato asportato (prima iterazione,\u00a0p<\/i>=1) il terzo centrale (1\/3; 2\/3), e da ognuno dei due segmenti risultanti [0;1\/3] e [2\/3;1] \u00e8 stato asportato il terzo centrale, esclusi gli estremi, e cos\u00ec via per infinite iterazioni.<\/div>\n
Evidentemente per\u00a0p<\/i>\"\"\u00a0l\u2019insieme C \u00e8 costituito dagli estremi dei segmenti che si formano ad ogni iterazione, quindi \u00e8 costituito da infiniti punti. La lunghezza dei segmenti asportati, dopo la p-esima iterazione, \u00e8 data dall\u2019espressione<\/div>\n
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che \u00e8 ovviamente uguale a 1 per\u00a0p<\/i>\"\".<\/div>\n
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Si dimostra cos\u00ec che la lunghezza complessiva dell\u2019insieme di Cantor \u00e8 zero, e altres\u00ec che \u00e8 costituito da infiniti punti. Quindi la definizione classica di dimensione \u00e8 assolutamente inefficace. Nel 1941, cio\u00e8 prima che fosse data la definizione di Kolmogorov (1958), Courant e Robbins, forse non abituati n\u00e9 pronti all\u2019idea di dimensione non intera, scrissero che la dimensione di C era zero; evidentemente essi calcolarono solo la Dt, senza rendersi conto che questa \u00e8 un dato sterile, che non permette di operare con questi insoliti oggetti matematici.<\/div>\n
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Oggi calcoliamo invece Df<\/span>(C) prendendo inizialmente un segmento unitario, che, essendo della stessa lunghezza del segmento di partenza, lo copre al meglio; dopo la\u00a0p<\/i>\u00a0= 1, i due segmenti rimanenti sono “misurati” da\u00a0N(h)<\/i>\u00a0= 2 segmenti di\u00a0h<\/i>\u00a0= 1\/3; in generale, dopo\u00a0p<\/i>\u00a0iterazioni,\u00a0N(h)<\/i>\u00a0= 2p<\/b><\/span>\u00a0e\u00a0h<\/i>\u00a0= 3–<\/i><\/span>p<\/b><\/span>. Da questo si ricava che\u00a0<\/div>\n
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Df(C) = ln 2p\u00a0\/ ln 1\/3\u00a0-p\u00a0= ln 2 \/ ln 3\u00a0\u00e8\u00a00,6309…\u00a0<\/span><\/div>\n
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Il fatto che la dimensione di C sia 0 < Df<\/span>(C) < 1, fa immediatamente capire come l’insieme C non contenga segmenti continui, ma sia costituito da infiniti punti, che sono tutti di accumulazione per C stesso, infatti in ogni intorno U(x\u00a0\u03b5<\/span>\u00a0C,\u00a0\u03b5<\/span>) esistono infiniti punti derivanti dalle iterazioni successive, e quindi C \u00e8 un insieme perfetto perch\u00e9 non ci sono punti di accumulazione di C che non appartengano a C stesso (tutti gli estremi dei segmenti appartengono a C).\u00a0<\/div>\n
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E’ interessante osservare che questi infiniti punti hanno la potenza del continuo! Infatti a ogni numero x\u00a0\u03b5<\/span>[0, 1], si pu\u00f2 associare la rappresentazione ternaria della misura della distanza dallo zero, e si pu\u00f2 scrivere nella forma: x = 0,a<\/span>1<\/span>a2<\/span>…an<\/span>, dove ai<\/span>\u00a0= 0 oppure 1 oppure 2. Tale rappresentazione non \u00e8 unica: per esempio 1\/3 = 0,1(0) ma anche 1\/3 = 0,0(2); in simili casi decidiamo di scegliere la rappresentazione che contiene meno cifre “1”; in tal modo, ogni numero \u00e8 rappresentato in modo univoco. Si pu\u00f2 dimostrare che x appartiene all’insieme di Cantor se e solo se la sua rappresentazione (in base 3) non contiene la cifra 1.<\/div>\n
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Si osservi ora che le rappresentazioni composte con le cifre 0 e 2 sono tante quante quelle composte con le cifre 0 e 1 e di queste ultime ve ne \u00e8 una infinit\u00e0 continua (cio\u00e8 con la potenza del continuo), poich\u00e8 ogni numero dell’intervallo [0;1] si pu\u00f2 rappresentare con una tale successione usando il sistema binario. In conclusione i punti di Cantor sono un’infinit\u00e0 continua.<\/div>\n
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Inoltre, un aspetto interessante della matematica dei frattali \u00e8 l’utilizzo di una numerazione in basi diverse da quella decimale in relazione alle caratteristiche del singolo motivo geometrico. Questo procedimento \u00e8 utile soprattutto per l’elaborazione da parte di computer, che non sono legati a nessuna base (diversa da quella binaria) pi\u00f9 che a quella decimale. In questo modo, per esempio, prendendo un segmento unitario e utilizzando la base 3, l’insieme di Cantor \u00e8 semplicemente costituito da tutti quei punti\u00a0x<\/i>n<\/span>\u00a0per i quali la misura della distanza d(x<\/i>n<\/span>) dall’estremo che noi chiameremo zero (o origine del segmento) \u00e8 espressa come una successione infinita di cifre ternarie 0,a<\/i>1<\/span>a<\/i>2<\/span>…a<\/i>n<\/span>, dove il valore delle\u00a0a<\/i>i<\/span>\u00a0sia solamente zero o due. Infatti riscontriamo che, dopo la prima iterazione, i punti del primo terzo hanno 0\u00a0\u2264<\/span>\u00a0d(x<\/i>primo terzo<\/span>)\u00a0\u2264<\/span>\u00a00,1 e che i punti del terzo di segmento adiacente al secondo estremo hanno 0,2\u00a0\u2264<\/span>\u00a0d(x<\/i>ultimo terzo<\/span>)\u00a0\u2264<\/span>\u00a01. Per la propriet\u00e0 di autosimilarit\u00e0, questo ragionamento pu\u00f2 essere esteso alla seconda iterazione, considerando la seconda cifra dello sviluppo ternario della misura della d(x<\/i>) dei punti che appartengono all’insieme dopo lap<\/i>\u00a0= 1. Facilmente si capisce come anche il punto\u00a0x<\/i>\u00a0| d(x<\/i>) = 0,1 appartenga all’insieme, scegliendo opportunamente la rappresentazione di 0,1 = 0,0(2).<\/div>\n
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Altri frattali vengono creati da computer attraverso l\u2019uso di basi numeriche non decimali. Consideriamo per esempio la curva di Von Koch, nata come esempio di curva priva di tangente in alcun punto.<\/div>\n
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\"\"p=1<\/div>\n
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\"\"p=2<\/div>\n
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\"\"p=3<\/div>\n
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Per questa curva Df<\/span>(K) = ln 4 \/ ln 3, per\u00a0p<\/i>\u00a0\u2015\u203a<\/span>\u00a0\u221e<\/span>, mentre la sua lunghezza \u00e8 evidentemente (4\/3)p<\/i><\/span>, cio\u00e8 infinita: per disegnare perfettamente questa curva, anche supponendo di poterlo fare alla velocit\u00e0 della luce, sarebbe necessario un tempo infinito. Se prendiamo due punti appartenenti a K, con distanza euclideae\u00a0comunque piccola, la lunghezza della curva che porta dal primo al secondo (e viceversa) \u00e8 infinita. Inoltre, se costruissimo una curva di Koch su ogni lato di un triangolo equilatero, la lunghezza del perimetro della figura cos\u00ec ottenuta sarebbe infinita come gi\u00e0 visto, mentre la sua area, posta l’area iniziale del triangolo Ai<\/span>\u00a0= a,<\/div>\n
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Ora abbandoniamo i frattali “semplici”, generati cio\u00e8 da successive trasformazioni geometriche e consideriamo invece frattali F costituiti dai punti che soddisfano una funzione complessa\u00a0R\u00a02<\/i><\/span>\u00a0(anche se, teoricamente, non c’\u00e8 un limite alla dimensione topologica di un frattale, per comodit\u00e0 di rappresentazione noi studieremo solo frattali Julia e Mandelbrot, che si rappresentano nel piano di Argand-Gauss, facendo quindi uso della matematica complessa) del tipo Z = f(z), dove zp<\/span>\u00a0= Zp-1<\/span>, cio\u00e8 una funzione nella quale per ogni iterazione, z assume il valore di Z ottenuto nell’iterazione precedente.\u00a0<\/div>\n
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In altre parole, F = { Z | Z = f(f(f(f(…)))) }\u00a0<\/div>\n
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E’ proprio questo che genera l’indefinitezza<\/i>\u00a0che \u00e8 una delle caratteristiche peculiari di tali costruzioni matematiche, ovvero la possibilit\u00e0 di iterare virtualmente all’infinito per ciascun punto prima di passare al successivo. Quindi, per “disegnare” un frattale attraverso un elaboratore, \u00e8 necessario precisare il numero massimo di iterazioni: un tempo finito non basterebbe per calcolare un punto del frattale a infinite iterazioni.<\/div>\n
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Volendo essere un po’ pi\u00f9 precisi, si pu\u00f2 dire che un frattale non rappresenta altro che la “forma” del bacino di attrazione di una successione a valori complessi definita per ricorrenza, rappresentata sul piano di Argand-Gauss.<\/div>\n
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Utilizzando la funzione f(z): Z = z2<\/i><\/span>\u00a0+ c si ottengono i due tipi di frattali che noi studieremo principalmente: i famosi “Julia” e “Mandelbrot” (che sono generati dalla stessa equazione, ma con valori differenti per il parametro c).\u00a0<\/div>\n
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L’equazione \u00e8 quella che nella rappresentazione abituale genera una parabola (se z\u00a0\u03b5<\/span>\u00a0R) traslata col vertice in (0, c); quello che interessa a noi, tuttavia, non \u00e8 la solita rappresentazione sul piano cartesiano (ovvero secondo un incremento della variabile indipendente), ma come si comporta, dato un punto di partenza, reimpostando nell’equazione i risultati dell’elaborazione precedente (zp<\/span>\u00a0= Zp-1<\/span>).\u00a0<\/div>\n
Con l’aiuto dei calcolatori e utilizzando opportunamente i colori \u00e8 possibile ottenere immagini molto suggestive di questi frattali.\u00a0<\/div>\n
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Dalla determinazione delle condizioni di partenza, dipendono le differenze tra gli insiemi di\u00a0Julia<\/i>\u00a0e l’insieme di\u00a0Mandelbrot<\/i>. E’ necessario un esempio, perch\u00e9 gran parte della difficolt\u00e0 iniziale che si incontra avvicinandosi ai frattali sta in questo.<\/div>\n
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L’insieme di Mandelbrot si presenta come un otto disposto in orizzontale sfrangiato e simmetrico rispetto all’asse delle ascisse.<\/div>\n
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